右偏数据的对数变换与 \(z\) 分数标准化

大白话巴菲特的浏览量比最低的人高出好几个数量级。直接平均的话，巴菲特一个人就能把平均数拽走。取对数相当于只看"差了几个数量级"：从 1 千到 1 万，和从 1 万到 10 万，算作同样大的一步。\(z\) 分数则像把不同科目的考试成绩都换算成"比全班平均高几个标准差"，这样单位完全不同的两个指标才能放在一起比、一起加。

当变量跨越好几个数量级（437 到 323,969），直接平均会被极端值主导。取对数把"乘法差异"变成"加法差异"（\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)），再做 \(z\) 标准化 \(z_i = \tfrac{x_i - \bar{x}}{s}\) 让两个量纲完全不同的指标（浏览量、新闻条数）可以相加。

注意：\(z\) 分数是相对于这 24 人计算的（\(\bar{x}\)、\(s\) 都来自这 24 人）。"\(z \ge 1\)"的含义是"在这个样本里高于均值 1 个标准差"，换一个样本，同一个人的 \(z\) 就会变。

Pearson 与 Spearman 相关

大白话两位评委给同一批选手打分，一位习惯打高分，一位习惯打低分。只要两人排出的名次差不多，Spearman 就高；Pearson 则更挑剔，要求分数大致落在一条直线上，而且一个特别离谱的分数就能把它带偏。

Pearson 衡量线性关系，对极端值敏感：\[r = \frac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar x)^2}\,\sqrt{\sum_i (y_i-\bar y)^2}}\]Spearman 是对秩（排名）求 Pearson，\(\rho_s = r\big(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(y)\big)\)，衡量单调关系，对极端值稳健。论文中两者都很高（0.854 / 0.832），说明"维基热度"和"新闻热度"给出的排名基本一致，合成指数的两个成分互相印证（一种聚合效度）。

匹配后的平衡性：为什么看 SMD 而不只看 \(p\) 值

大白话匹配就是给每位知名经理找一个"各方面条件相近的普通同行"。配得好不好，要看两组到底差多少（SMD，以标准差为单位），而不是看检验"显不显著"。每组只有二十几只基金时，检验就像一把刻度很粗的尺子：量不出差别，不代表两样东西一样长。

每组只有 24 只基金，样本量很小时 \(t\) 检验检验力很低，"不显著"不等于"平衡"。SMD 与样本量无关，常用经验阈值是 \(|\mathrm{SMD}| \lt 0.1\)（严格）或 \(\lt 0.25\)。按这个标准，存续年限的 \(\mathrm{SMD} = 0.46\) 其实不算平衡，尽管 \(p = 0.12\) "不显著"——论文自己也承认这是匹配最差的一项，并在回归中加入基金年龄等控制变量。

Welch \(t\) 检验不假设两组方差相等，是两独立样本均值比较的默认安全选择：\[t = \frac{\bar x_T - \bar x_C}{\sqrt{s_T^2/n_T + s_C^2/n_C}}\]

事件研究法：异常收益 AR 与累计异常收益 CAR

大白话想知道"消息让股价多涨了多少"，得先回答"没有这条消息时它本来会涨多少"。做法是：先用事件之前的数据，学会这只股票平时怎样跟着几股"大盘风向"一起涨跌；再用学到的关系预测事件期间的"正常收益"。实际收益减去这个预测，就是异常收益 AR；把几天的 AR 加起来，就是累计异常收益 CAR。下面是严格写法。

"异常"= 实际收益 − 模型预测的"正常"收益。\(\hat\beta\) 来自事件前的估计窗口，这是典型的样本外预测：如果用了事件窗口本身来估计 \(\beta\)，事件效应会被模型"吸收"掉。

论文同时报告三种基准：Carhart 四因子（主结果）、市场调整（\(R_{it} - R_{m,t}\)）、市场模型（单因子回归）。三者结果相近（见⑤），说明结论不依赖于"正常收益"模型的选择。

此外，所有 CAR 在 1% 和 99% 分位缩尾（winsorize）：\(\tilde x_i = \min\{\max(x_i, q_{0.01}),\, q_{0.99}\}\)，把极端值"压"到分位点上而非删除，以降低厚尾对均值的影响。

双重差分与交互项的解读

大白话两次减法，各去掉一种干扰。第一次在同一位经理身上减："他买入后的反应"减"他清仓后的反应"，去掉"他挑的股票本来就爱涨"。第二次在名人和普通人之间减："名人的差值"减"普通经理的差值"，去掉"谁披露都会引起的反应"。两次减法之后剩下的，才算在"出名"头上。

第一重差分"买入 − 清仓"在同一只基金内部做对比，消掉"这只基金的股票本来就爱涨"之类的基金特质；第二重差分"知名 − 对照"消掉"任何主观选股基金的披露都会引起的普遍反应"。剩下的 \(\beta\) 才是"知名度"的增量。

注意这里的 DiD 不是常见的"处理前/处理后 \(\times\) 处理组/对照组"，而是"买入/清仓 \(\times\) 知名/无名"——DiD 的本质是交互项，两个维度可以是任何能各自消除一类混杂的对比。

逐步加控制变量（表 III 从第 1 列到第 6 列）：如果系数随控制变量增加而基本稳定，说明可观测的混杂不太可能驱动结果——这是检验"遗漏变量偏误"敏感性的常用做法（但无法排除不可观测的混杂）。

聚类稳健标准误：真正的样本量是多少？

大白话好比做民调访问了近 3 万人，但这些人其实来自几十个村子，同村的人意见高度相似。真正独立的信息远没有 3 万份那么多，更接近"有多少个村子"。这里的"村子"就是基金经理。

表面上有近 3 万个事件，但同一位经理的多次披露彼此相关（相同的选股风格、相同的追随者）。标准误按经理聚类，聚类数 \(G = 48\)（高知名度对比时只有 29 个聚类，其中处理组仅 5 个）。

严格地说，聚类稳健方差是 \(\widehat{V}_{\text{CR}} = (X^\top X)^{-1}\Big(\sum_{g=1}^{G} X_g^\top \hat u_g \hat u_g^\top X_g\Big)(X^\top X)^{-1}\)。它的可靠性靠的是"聚类够多"：渐近理论要求聚类数 \(G \to \infty\)，而不是观测数 \(N \to \infty\)。处理组只有 5 个聚类时，这把尺子会"量短"：常规聚类标准误往往低估不确定性，于是太容易拒绝原假设、宣称显著。这就是论文第⑤部分要用野聚类自助法的原因。

分段线性（拐点）回归与"阈值是怎么来的"

大白话拐点回归像阶梯电价：用电量超过某一档以后，每度电的单价变高，但电费总额是连续增加的，不会在档位上突然跳一下。这里"用电量"是知名度 \(z\)，"档位"是 \(z = 1\)，"单价"是斜率。

它允许关系在 \(c\) 处"转弯"，但保持连续。

要警惕的是：阈值 \(c\) 是不是看了数据之后才选的？这就像"先开枪、后画靶"：如果先看散点图，发现前五名特别高，再把阈值放在 \(z = 1\)，那么常规 \(p\) 值会偏乐观。这叫数据窥探，也叫"分叉小径"。

论文表 XI 的阈值扫描（\(z \ge 0, 0.25, \ldots, 1.5\)）展示了效应对阈值的敏感性，但不能消除数据窥探，原因有二：

• 如果事后已经看到前五名特别高，"阈值越高、效应越大"本来就是意料之中的模式；
• 这个"越高越大"只在 [0,1]、[0,3] 单调成立。[0,30] 的序列是 0.983 \(\to\) 1.664 \(\to\) 1.384 \(\to\) 2.319 \(\to\) 2.457 \(\to\) 3.401，并不单调。

能部分回应数据窥探的，是第⑤节的随机化推断：它把"哪 5 只被选中"当作随机。阈值是否事前设定，论文没有说明。

日历时间组合、\(\alpha\) 与 HAC 标准误

大白话事件时间法把每次披露当成一份独立的答卷。可是很多披露挤在同一段时间，受同一阵市场风的影响，答卷之间相当于互相"抄"。日历时间法换个算法：每天把当时持有的股票装进一个篮子，只看这个篮子每天的收益，相关性就被装进篮子里了。\(\alpha\) 是篮子收益里几个因子都解释不了的那部分。

为什么还要做日历时间组合？事件时间法把发生在同一天的事件当作独立的，但 13F 申报集中在每季度截止日附近，多个事件的收益横截面相关，会低估标准误。把同一天的所有持仓合成一个组合，每天只有一个收益，横截面相关被"吸收进"组合收益里。

截距 \(\alpha\) 就是"因子解释不了的日均收益"。由于持仓重叠，\(\varepsilon_t\) 存在序列相关，所以用 Newey–West 型 HAC（异方差与自相关一致）标准误：\(\hat\Omega = \hat\Gamma_0 + \sum_{\ell=1}^{L}\big(1-\tfrac{\ell}{L+1}\big)(\hat\Gamma_\ell + \hat\Gamma_\ell^\top)\)，论文取 \(L = 5\)。

年化的陷阱：\(10.4\ \text{bp} \times 252 \approx 26\%\) 是算术年化（复利年化应为 \((1+0.00104)^{252} - 1\)），还假设全年每天都有持仓、无交易成本；论文自己也指出组合平均只有约 10 只股票、只在申报季附近持仓、集中于小盘低流动性股票，实际可得收益会小得多。延迟一天建仓后，\(H=21\) 的 \(\alpha\) 降到 +4.9 bp/日（\(p = 0.064\)），\(H=63\) 为 +3.2（\(p = 0.029\)）。

野聚类自助法：WCR 与 WCU

大白话自助法的意思是"用手头的数据造出很多份平行数据，看估计值会怎样晃动"。"聚类"二字是说：每次给同一位经理的所有残差统一抽一个权重，像抛硬币或掷骰子决定乘以几，这样同一位经理的事件一起变，组内相关就保留下来了。WCR 造数据时先假定"效应为零"，相当于站在怀疑者的立场检验结果；WCU 不做这个假定。

做法：保留解释变量不动，把每个聚类的残差整体乘以一个随机权重，\(y^{*}_{g} = X_g\tilde\beta + v_g^{*}\,\tilde u_g\)（Rademacher 取 \(v_g^{*} = \pm 1\)；聚类很少时 \(\pm1\) 只有 \(2^G\) 种组合，所以用 Webb 六点分布 \(v_g^{*} \in \{\pm\sqrt{1/2}, \pm 1, \pm\sqrt{3/2}\}\)），生成"伪因变量"后重新估计，得到 \(t\) 统计量的自助分布。

• WCR（restricted）：在生成伪数据时施加零假设 \(\beta=0\)（\(\tilde\beta, \tilde u\) 来自受约束回归）。少聚类时检验水平更准确，通常更保守。
• WCU（unrestricted）：用无约束残差 \(\hat u\)。往往更"敢拒绝"。

请看上表：分析性 \(p\) 在 [0,30] 是 0.016，但 WCR 是 0.148——同一个系数，推断方法不同，结论可以从"显著"变成"不显著"。论文的表述是二者"夹住真相"。

置换检验 / 随机化推断

大白话置换检验就是"洗牌"。如果知名度与股价反应毫无关系，那"哪 5 位被贴上高知名度标签"就和随手抽签没有区别。把所有可能的抽签结果都试一遍，看真实那一组的差距排在多靠前。如果它排在最前面的极少数里，就说明光凭运气很难抽出这么大的差距。

\(p\) 值 = 在所有可能的标签分配中，统计量"至少和观测值一样极端"的比例：\(p = \tfrac{1}{42{,}504}\sum_{\pi} \mathbf{1}\{T_\pi \ge T_{\text{obs}}\}\)。它不依赖正态性或大样本，只依赖"零假设下标签可交换"。上式是单侧 \(p\)；双侧版本把指示函数换成 \(\mathbf{1}\{|T_\pi| \ge |T_{\text{obs}}|\}\)。论文自己前后不一致：正文说读取"match or exceed"的比例（单侧），表 IX 注释却写"exact two-sided p"。本页图 6 两种都给出。

关键限制：可交换性必须合理。论文只在知名组内部置换，因为知名基金与对照基金来自不同的筛选流程，跨组置换并不满足可交换性。另一点：置换检验回答的是"这 24 只基金里，标签与反应是否相关"，推广到其他基金需要额外假设。

刀切法与影响点

大白话刀切法就是"挨个请人离场"：每次去掉一位经理，重算一遍，看结论变不变。如果去掉某一个人结论就塌了，说明结果主要靠他一个人撑着。

每次删掉一个观测单位（这里是一位经理）重新估计得 \(\hat\theta_{(-j)}\)，看估计值波动多大，可用来发现强影响点并估计方差：\(\widehat{\mathrm{Var}}_{\text{jack}} = \frac{n-1}{n}\sum_{j=1}^{n}\big(\hat\theta_{(-j)} - \bar\theta_{(\cdot)}\big)^2\)。当总共只有 5 个处理单位时，每个单位都可能是"杠杆点"。回到图 3 勾选"去掉巴菲特"，你会直观看到回归线斜率的变化。

前视偏差（look-ahead bias）

大白话好比用今天的球星名单去评价十年前的选秀：后来成为球星的人，当年也许并不出名。用"事后才有的名气"给过去的事件分组，就可能把"因为业绩好、后来才出名"误当成"因为出名、所以股价涨"。

如果分组变量用到了事件发生之后才知道的信息（编者举例：伯里的大众知名度很大程度上来自 2015 年电影《大空头》，而全样本静态指数会把他更早的披露也归入"高知名度"），就可能把"因为业绩好后来才出名"误读为"因为出名所以股价涨"。滚动指数是标准的修正办法。

"一个显著、一个不显著" \(\neq\) "两者差异显著"

大白话两个人参加考试，一个刚好过线，一个差一点没过。"一个及格、一个不及格"只说明两人落在线的两侧，并不说明两人水平差很多。两组结果谁大谁小，要直接检验它们的差。

表 XIV 的分组检验里就有现成的例子。机构持股 [0,30]：持股低的股票溢价 3.830%（\(p \lt 0.01\)），持股高的 1.903%（不显著）——"一个显著、一个不显著"，但差异本身的 \(p = 0.778\)。市值 [0,10] 则反过来：小盘 2.934%（不显著），大盘 2.139%（\(p \lt 0.01\)），差异 \(p = 0.291\)。判断两组是否不同，必须直接检验差值 \(\hat\beta_1 - \hat\beta_2\)，其标准误为 \(\mathrm{SE}(\hat\beta_1-\hat\beta_2)=\sqrt{\mathrm{SE}_1^2+\mathrm{SE}_2^2-2\,\mathrm{Cov}(\hat\beta_1,\hat\beta_2)}\)，而不是比较两组各自的星号（Gelman & Stern, 2006）。这里 Cov 一般不为 0：两个子样本共享同一批经理聚类。

即使两组都显著也一样：机构持股 [0,10] 低持股 3.489%（\(p \lt 0.01\)）、高持股 2.108%（\(p \lt 0.10\)），看上去差很多，差异 \(p = 0.617\)。

同理，交易数据的分组结果中，作者如实报告了唯一显著的差异是反方向的（覆盖面广的股票散户交易更多，\(p = 0.046\)），并把整体证据表述为"谨慎地支持机制1"。

"不显著"能否当作"没有"？

大白话在昏暗的房间里没看到钥匙，不能断定钥匙不在房间里，要先问灯够不够亮。这里的"灯"就是置信区间的宽度：只有区间够窄，而且整个落在"小到无关紧要"的范围里，才能说"没有效应"。

机制2的证据是一组"不显著"。不能拒绝原假设 \(\neq\) 接受原假设。更严格的论证应看置信区间是否足够窄、足以排除有经济意义的效应（等价检验 / TOST 思路：同时检验 \(H_{0}^{(1)}: \theta \le -\Delta\) 与 \(H_{0}^{(2)}: \theta \ge \Delta\)，两者都拒绝才宣称 \(|\theta| \lt \Delta\)）。用表 XIII 的点估计和 \(p\) 值反推标准误（\(\mathrm{SE} = |\hat b|/z_{1-p/2}\)，正态近似），可以得到近似 95% CI（单位：对数点）：

规模效应的区间宽到排除不了与笔数效应同量级（约 5–7 个对数点）的规模变化，在任何合理的 \(\Delta\) 下 TOST 都通不过。所以正确的结论是：现有精度不足以排除经济上有意义的规模效应——"未找到证据" \(\neq\) "证据表明没有"。图 8 现在画出了这些区间，可以直接看到。论文本身没有做等价检验。