论文里的统计故事 · 第 7 期

AI 订阅：一年留不住一半人，
谁在跟 ChatGPT 抢饭碗？

四位作者用 1.74 亿美国消费者的刷卡流水，追踪谁在为 ChatGPT、Claude、Gemini、Grok 付月费。结论有点反直觉：同时订两家的人越来越少，一年后还在付费的不到一半；份额只有 0.5% 的 Anthropic，却实实在在地压着 OpenAI 的价格

论文：Mark L. Egan（哈佛商学院、NBER）, Dominic Russel（哈佛商学院）, Claire Shi（哈佛大学）, Vincent Yao（佐治亚州立大学）. Competition in Generative AI: Evidence from Consumer Demand. NBER Working Paper No. 35953，2026 年 10 月。DOI 10.3386/w35953；全文 nber.org/papers/w35953。
领域：平台与数字经济 / 产业组织 / 需求估计（JEL D12, L13, O33）。
阅读状态：已通读 NBER 版正文（§1–§8、图 1–9、表 1–5）与附录 A.1（商户识别）、B.1（估计细节）、C.1（付费决定因素回归）。数字摘自正文与表格；编者换算标本页换算，模拟示意标示意。
注意：NBER 工作论文未经同行评审；刷卡数据来自支付服务商 Fiserv，属专有数据，无法复现。论文披露两位作者与该公司有顾问关系，其中一位为付费顾问。

要点摘要

研究问题：ChatGPT、Claude、Gemini、Grok 之间，是“各有所长”、用户同时订好几家，还是越来越像、用户挑一家随时换？厂商不公开订阅数据，作者改看银行卡账单。（①）
数据：支付服务商 Fiserv 的匿名刷卡流水，1.74 亿名消费者，只保留当月至少 20 笔交易的人后为 8,200 万人；只看得到四家大厂的个人付费账户，免费用户和企业账户不在其中——样本大不等于样本对。（②）
描述性发现：至少为一家 AI 付费的消费者只有 2.9%；Claude 付费者中同时付费 ChatGPT 的比例从 44% 降到 28%，多归属指数（对数优势比）从 5.2 降到 2.9；OpenAI 新付费者一年后仍在付费的约 45%，Netflix、Spotify 约 70%。（③④⑤）
结构模型：随机系数 Logit 加模拟极大似然，区分“互补”与“相关偏好”：ChatGPT 与 Claude 的偏好相关系数 0.889，组合项一直为负且越来越强——高多归属主要来自相关偏好，而不是互补。（⑦）
价格与福利：价格系数靠 xAI 一次涨价作工具变量识别（IV −0.222，OLS −0.179），平均自价格弹性 −4.6；OpenAI 静态勒纳指数 59%；反事实中移除份额 0.5% 的 Anthropic，每位 AI 用户每季度福利损失 5.05 美元。（⑧⑨⑩）
注意：NBER 工作论文未经同行评审；刷卡数据属专有数据，无法复现；价格效应只由一次涨价识别，反事实是模型内计算，没有置信区间。（⑪）

编者据本文正文整理；数字与结论详见下文各节。

① 悬念：大模型之间，是“各有所长”还是“随便换”？

如果 ChatGPT、Claude、Gemini、Grok 各有绝活，用户会同时订好几家，厂商各守一块地盘，价格好定；如果它们越来越像，用户就会挑一家、随时换，价格战一触即发。这关系到 AI 行业将来是“一家独大”还是“几家缠斗”。

问题是，厂商不公开订阅数据。四位作者换了个角度：看银行卡账单。每月扣给 OpenAI、Anthropic、Google、xAI 的那 20 美元左右，都留在了支付流水里。

2.9%2026 年 4 月为至少一家 AI 付费的消费者比例

44%→28%Claude 付费者中同时付费 ChatGPT 的比例，2024-06 → 2026-04

≈45%OpenAI 新付费者一年后仍在付费的比例；Netflix、Spotify 约 70%

−4.6平均自价格弹性：涨价 1%，需求约降 4.6%

$102026Q1 平均消费者每月愿为 OpenAI 比 Anthropic 多付

$5.05移除 Anthropic 后，每位 AI 用户每季度的福利损失

数字来自论文摘要与正文第 1、3、6、7 节。

为什么选这篇：①平台经济的热点：AI 订阅是不是“赢家通吃”，直接关系到投资者怎么看这几家公司的定价权；②一条数据线串起描述统计（覆盖偏差、优势比、留存曲线）与结构计量（离散选择、模拟极大似然、工具变量、反事实）；③数字密、口径清楚，几乎每个都能在正文和表 1–5 里逐条核对；④全文在 NBER 公开。

② 刷卡数据：很大，但不是“全体美国人”

数据来自支付服务商 Fiserv 的匿名信用卡、借记卡交易：2021 年 1 月到 2026 年 4 月，1,140 亿笔交易、7.19 亿张卡、1.74 亿名消费者。为了尽量只看“主力卡”，作者只保留当月至少 20 笔交易的人，样本降到 8,200 万人。2026 年 1 月，样本里的人平均每月刷 63 笔、花 3,268 美元；46% 在 55 岁及以上。

AI 付费靠商户名识别，只看四家大厂的个人付费账户；免费用户、公司统一采购的企业账户都看不到。

知识点 1

抽样框与覆盖偏差：样本大 ≠ 样本对

本科

大白话在健身房门口问“你每周锻炼几次”，问一万人也估不准全国平均，因为你只问到了会来健身房的人。抽样框偏了，偏差不会因为样本变大而消失。

这篇论文的抽样框是“经 Fiserv 处理的卡、且当月刷卡 ≥20 笔的人”。至少有三处覆盖问题：不用卡或很少刷卡的人被排除；用企业账户付费的看不到；只看付费、不看免费使用。作者也强调这个口径有意比问卷窄：问卷里“用过生成式 AI”的美国成年人约一半，这里“为 AI 付费”的只有 2.9%。两个数不矛盾，它们量的不是同一件事。

读大数据研究，先问三件事：谁有机会进样本？筛选条件会把谁筛掉？结果变量量的是“用”还是“付钱”？

③ 谁在付费：年轻、高收入、住在大学城

2026 年 4 月，2.9% 的消费者至少为一家 AI 付费，OpenAI 占大头（2.4%）。按美国持卡人数放大，超过 600 万人，约等于《华尔街日报》和《经济学人》订户之和。Anthropic 增长最快：2026 年 2 月 Claude 4.6 发布后，1 月到 4 月付费人数翻了三倍。

年收入 20 万美元以上的人，付费概率是 5 万美元以下的 1.7 倍；55 岁以下约 3.5% 付费，55 岁及以上 1.9%。大学学历比例最高的四分之一邮编区付费率 4.3%，最低四分之一不到 2%。哈佛商学院所在的邮编 02163 高达 38%。

知识点 2

生态谬误：地区的相关 ≠ 个人的相关

本科

大白话“大学生多的小区订 AI 的人多”，不等于“大学生更爱订 AI”。也许这些小区收入高、离科技公司近，订 AI 的恰好是住在那里的工程师。

论文里的年龄、收入是按个人归入的分组；学历、族裔则是邮编层面的比例。用地区汇总变量与行为的关系去推断个人层面的关系，就是生态谬误（ecological fallacy）。正确读法是“高学历邮编区付费率更高”，而不是“高学历的人付费率更高”。

顺带一个大样本陷阱：论文附录用多元回归看谁更可能付费，对 7 个产品（Anthropic、Google、OpenAI、xAI，以及 Midjourney、QuillBot、Cursor）各做一个回归，因变量是该产品的付费人数比例（百分点）。每个回归都有 2,100 多万个观测（每个观测是“邮编×年龄组×收入组×月”单元格，按人数加权），绝大多数系数都在 1% 水平显著，可组内 $R^2$ 最高的 OpenAI 也只有 0.11，Anthropic 0.026，Google、xAI 只有 0.002–0.003。显著说明“不是零”，不说明“解释力大”。

④ 多归属：同时订两家的人在减少

“多归属”（multihoming）指同一个人同时用多个竞争平台，比如手机里同时装两个打车软件。2024 年 6 月，Claude 付费者里有 44% 同时付费 ChatGPT；到 2026 年 4 月降到 28%。反过来，ChatGPT 付费者里同时付费 Claude 的，到样本末期接近 6%。

但“44% 很高”是相对什么而言？Claude 的付费者多是重度用户，重度用户本来就更可能订 ChatGPT。作者用一个不受各自普及率影响的指标来回答。

知识点 3

2×2 表与对数优势比：两件事是否“结伴出现”

本科

大白话把所有人按“订不订 ChatGPT × 订不订 Claude”分进四个格子。若两件事毫无关系，“都订”与“都不订”的乘积，应正好等于“只订甲”与“只订乙”的乘积。前者是后者的多少倍，就是结伴的程度。

\[\text{指数}=\log\frac{P(\text{都订})\,P(\text{都不订})}{P(\text{只订 O})\,P(\text{只订 A})}\]

这就是 2×2 表的对数优势比（log odds ratio），O、A 分别指 OpenAI、Anthropic。若订两家相互独立，分子分母都等于 $p_O p_A(1-p_O)(1-p_A)$，指数为 0。优势比的好处是不随两家各自的普及率变化，所以能跨时间、跨产品对比较。

OpenAI–Anthropic 这一对的指数从 2024 年 6 月的 5.2 降到 2026 年 4 月的 2.9；正文换算为优势比约从 181 降到 18（$e^{5.2}\approx181$，$e^{2.9}\approx18$）。仍远大于 1，两家仍然“结伴”；但结伴程度降了一个数量级。

论文数字图 1　多归属的两个口径。左：Claude 付费者中同时付费 ChatGPT 的比例；右：多归属指数（对数优势比）。只画正文给出的起止两点。论文正文说明，这一指数在样本期内随时间下降；其他产品组合也有类似但较缓的下降。

作者的解读：大模型越来越“通用”，Claude 也能写稿、ChatGPT 也能写代码，用户就不必两家都订。这正是“替代品”的样子。

⑤ 留存：AI 订阅比视频会员难留

从第一次付费算起，OpenAI 一个月后还剩 77%，三个月 65%，六个月 55%，一年约 45%。Anthropic 和 xAI 更低且彼此相近：约 65%、50%、40%；Anthropic 一年约 30%。Google 最低。对比同一数据里的非 AI 订阅：Spotify、Netflix 三个月留存在 80% 以上，一年约 70%；《纽约时报》三个月也有 70%。

论文数字图 2　首次付费后的留存。实心点为论文正文给出的数值（多为“约”值）；空心点是同一数据中的非 AI 订阅基准。为排除季付、年付，只用单笔低于 50 美元的交易。来源：论文第 1、3.3 节与图 5 注。

知识点 4

留存曲线与右删失：第 12 个月的点是谁算出来的？

本科

大白话2026 年 1 月才第一次付费的人，到 4 月底只能看到 3 个多月，根本不知道他第 12 个月会不会续费。这类“还没看到结局”的观测叫右删失。

论文的处理是：算第 $M$ 个月的留存时，只用至少已被观察 $M$ 个月的各批新用户。于是，第 1 个月的点几乎用上了所有人，第 12 个月的点只来自大约 2025 年春季以前就开始付费的早期用户。好处是不会把“还没到期”误当“流失”；代价是曲线上不同的点来自不同人群。若早期用户更铁杆，曲线尾部会被抬高。生存分析里的 Kaplan–Meier 估计也是这一思路：每一步只用当时仍“在险”的人。

知识点 5

异质性与动态筛选：留下来的人越来越“铁”

研究生

大白话新开的健身房，第一个月走掉一大批“试试看”的人；剩下的多是真爱，以后每月走得越来越少。整体曲线先陡后平，不是因为每个人“越练越爱”，而是人群在被筛选。

如果每月留存率恒为第一个月的 77%，三个月后应剩 $0.77^3\approx 46\%$，一年后只剩 $0.77^{12}\approx 4\%$。实际是 65% 和约 45%（本页换算）。按图 2 的点倒推，第 6 到第 12 个月平均每月留存约 $(45/55)^{1/6}\approx 97\%$。隐含的月流失率（风险率）随时间大幅下降。

这正是混合分布的典型现象：若人群由“铁杆”与“尝鲜”两类组成，各自风险率都不变，总体风险率也会随时间下降，因为尝鲜者先走光了（frailty / 动态选择）。从总体曲线读出“用得越久越离不开”，就混淆了个体效应和构成变化。下面的交互图可以自己调两类人的比例感受一下。论文还报告了另一种口径的“月度留存”：上个月付过费的全部用户（不论何时开始订阅）中，本月再次付费的比例。2026 年 4 月 OpenAI 为 87%、Anthropic 与 Google 78%、xAI 66%（Spotify、Netflix 接近 95%），都高于新用户曲线的首月留存，也是同一道理：老用户里铁杆更多。

⑤′ 交互模拟：两类人混在一起，留存曲线就会“变平”

假设付费者里有两类人：“铁杆”每月留存率 $r_L$，“尝鲜”每月留存率 $r_C$，铁杆占比 $q$。总体 $t$ 月留存 $S(t)=q\,r_L^{\,t}+(1-q)\,r_C^{\,t}$。虚线是“人人一样、每月都按首月留存率流失”的对照。黑点是论文 OpenAI 的四个约值。默认参数由编者粗略拟合，只作示意。

铁杆占比 q = 72% 铁杆月留存 r_L = 96% 尝鲜月留存 r_C = 29%

⑥ 新模型一发布，用户就流动

论文先画了一个比例的月度走势：上个月只付费 Claude 的人里，这个月开始付费 ChatGPT 的比例。GPT-4o、o1 发布前后，这个比例明显跳升；ChatGPT 加入图像生成、GPT-5 和 Codex Desktop 发布前后，也有较小的上升。

作者再把这个观察做成回归。样本只有 OpenAI、Anthropic 两家，每家每月一个观测，共 54 个“厂商×月”。因变量是切换率：上个月只订对手的人里，本月转来或加订本家的比例（单位为百分点，样本均值 2.78%）。解释变量是三个“新模型”哑变量，都针对本家：

$D_{jt}$：本月（第 $t$ 月）是否发布了新模型；
$D_{j,t-1}$：上个月是否发布；
$D_{j,t-2}$：两个月前（上上个月）是否发布。

“发布新模型”有明确门槛：这家厂商的新模型把自家在能力指数（Epoch Capabilities Index，简称 ECI）上的最高分刷新了，取 1，否则取 0。以 1 月为例，三个哑变量分别看 1 月、上一年 12 月、上一年 11 月有没有这样的发布。

\[\text{Switch}_{jt}=\beta_0 D_{jt}+\beta_1 D_{j,t-1}+\beta_2 D_{j,t-2}+\mu_j+\varepsilon_{jt}\]

\[\begin{aligned}\text{Switch}_{jt}=\ &\beta_0 D_{jt}+\beta_1 D_{j,t-1}\\&+\beta_2 D_{j,t-2}+\mu_j+\varepsilon_{jt}\end{aligned}\]

论文先把三个哑变量各自单独放进回归（每次只放一个），再把三个同时放进一个回归，也就是上式。同时放时，每个系数都是在另外两个月的发布情况相同的前提下，这一个月的发布带来的变化：$\beta_0$ 是“本月发布”的效应，$\beta_1$ 是“上月发布、到本月还剩多少效应”，$\beta_2$ 是“上上月发布、到本月还剩多少”。三个同时放的结果：$\hat\beta_0=0.69$（标准误 0.28）、$\hat\beta_1=0.63$（0.29）、$\hat\beta_2=0.15$（0.21）。即新模型发布的当月和次月，切换率分别高出 0.69 和 0.63 个百分点，相对均值约 +25% 和 +23%；到第三个月不再显著。

论文还换了一种量法：不看“有没有发布”，而看本月与上月这两个月里本家 ECI 分数一共提升了多少。系数为 0.095（10% 水平显著），即 ECI 分数每多提升 1 分，切换率约高 0.095 个百分点：升级越大，流动越多。

论文数字本页换算图 3　三个哑变量同时放入时的系数（论文表 2 第 4 列）。点与标准误来自论文；95% 区间（±1.96 倍标准误）和相对均值的涨幅为编者换算。

知识点 6

分布滞后、固定效应与小样本推断

本科

大白话新模型的效应可能拖几个月。把当月、上月、前两月的发布哑变量一起放进回归，就能看到效应“什么时候来、什么时候走”。厂商固定效应 $\mu_j$ 则把“OpenAI 本来就更吸引人”这种常年差别先扣掉。

三个值得注意的地方。①一起放 vs 单独放：只放“上月发布”一个哑变量时，系数 0.41、不显著；三个同时放，同一个系数变成 0.63、显著。编者的解读是：各月是否发布彼此相关，只放一个月时，相邻月份的效应被混进误差项，估计就会偏；同时放才能把各月的效应分开。论文本身没有解释这一变化。②样本很小：54 个观测，95% 区间宽，当月效应的区间约为 [0.15, 1.23]（本页换算），“+25%”只是点估计。③标准误口径：论文报告的是异方差稳健标准误；同一厂商相邻月份的误差可能相关，而只有两个厂商时按厂商聚类又不可行。这类“少数单位 × 多期”的面板，推断要格外谨慎。

⑦ 选择模型：订哪一家，还是订一个“组合”？

描述性事实之后，作者搭了一个结构模型，借用 Gentzkow（2007）研究“纸质报纸与网络版是互补还是替代”的框架。每个季度，消费者在 11 个选项里挑一个：什么都不订、四家里订一家、或者两两组合订两家（作者限定最多订两家；样本里订过三家及以上的不到 0.05%）。组合 $c$ 给消费者 $i$ 的效用是

\[U_{ict}=\sum_{j\in c}\left(\delta_{jt}+\theta_{ij}\right)+\Gamma_{ct}+\gamma_{ic}+\nu_{ict},\qquad \delta_{jt}=-\alpha p_{jt}+X_{jt}'\beta+\xi_{jt}\]

\[\begin{aligned}U_{ict}&=\sum_{j\in c}\left(\delta_{jt}+\theta_{ij}\right)+\Gamma_{ct}\\&\quad+\gamma_{ic}+\nu_{ict}\\ \delta_{jt}&=-\alpha p_{jt}+X_{jt}\'\beta+\xi_{jt}\end{aligned}\]

$\delta_{jt}$ 是大家共同认可的平均价值（价格、模型能力、其他质量），$\theta_{ij}$ 是这个人对这家的个人偏好（长期不变），$\Gamma_{ct}+\gamma_{ic}$ 是“两家一起订”额外多出或少掉的价值：正为互补，负为替代。$\nu$ 是每期的随机冲击。

知识点 7

多项 Logit、IIA 与“对数和”消费者剩余

研究生

大白话每个选项的“吸引力”取指数，再按比例分配选择概率，这就是 Logit。它的好处是概率有封闭式，消费者剩余也有现成公式。

若 $\nu$ 独立同分布于 I 型极值分布（Gumbel），给定个人偏好 $(\theta_i,\gamma_i)$，选择概率是

\[\varsigma_{ict}=\frac{\exp(u_{ict})}{\sum_{c'\in C}\exp(u_{ic't})},\qquad u_{ict}=U_{ict}-\nu_{ict}\]

\[\begin{aligned}\varsigma_{ict}&=\frac{\exp(u_{ict})}{\sum_{c\'\in C}\exp(u_{ic\'t})}\\ u_{ict}&=U_{ict}-\nu_{ict}\end{aligned}\]

IIA（无关选项独立性）：在单个人身上，任意两个选项的概率之比与第三个选项无关，这在替代模式上很僵硬。模型让 $\theta_i$ 因人而异、彼此相关，对 $\theta$ 积分后总体份额不再满足 IIA，这就是“随机系数 Logit”的意义。

两个好用的副产品。①虽然选的是组合，但对单家产品的价格导数仍是 $\partial s_{ij}/\partial p_j=-\alpha\, s_{ij}(1-s_{ij})$，与普通 Logit 同形。②期望最大效用有“对数和”形式，除以价格系数就换成美元：

\[W_{it}=\frac{1}{\alpha}\left[\log\sum_{c\in C_t}\exp(u_{ict})+K\right]\]

$K$ 是欧拉常数。拿掉某家后再算一次，两者之差就是这家给消费者带来的剩余。

知识点 8

⑧ 价格有多敏感？AI 值多少钱？

极大似然先估出每家每季度的平均效用 $\delta_{jt}$：2026Q1 时 OpenAI −12.1、Anthropic −14.3、Google −16.2、xAI −17.0（以“不订”为 0，负值说明大多数人不订）。第二步把 $\delta_{jt}$ 对价格和模型能力回归，拆出价格系数 $\alpha$。

知识点 9

价格内生性与工具变量：只有一次涨价可用

研究生

大白话厂商定价时看得见自家产品好不好；产品好的往往敢定高价。直接把“价格”和“受欢迎程度”做回归，高价产品看起来“没那么吓跑人”，价格敏感度就被低估了。

回归式是 $\hat\delta_{jt}=-\alpha p_{jt}+X_{jt}'\beta+\xi_{jt}$。若未观测质量 $\xi$ 与价格相关，OLS 有偏。作者的工具变量是一个哑变量：xAI 在 2025 年第一季度及以后取 1，对应 xAI 入门订阅从 16 美元涨到 30 美元之后。因为 OpenAI、Anthropic、Google 在样本期内都没调价，厂商内部唯一的价格变动就来自 xAI。

结果：OLS 价格系数 −0.179（0.049），IV 为 −0.222（0.039）。IV 绝对值更大，与“OLS 低估价格敏感度”的直觉一致。但要清楚它的分量：整个价格效应几乎全靠一家公司的一次涨价识别；排他性要求那次涨价前后 xAI 的未观测质量没有同步跳变，而论文在脚注中提到，Grok 3 恰在同期发布。模型能力已放进 $X$ 控制，这一点仍值得打个问号。

知识点 10

支付意愿：效用差 ÷ 价格系数

本科

大白话效用本身没有单位。价格系数告诉你“1 美元值多少效用”，用它一除，效用差就变成了美元，好比把“分”换算成“元”。

\[\text{WTP}_{O-A}=\frac{\delta_O-\delta_A}{\alpha}=\frac{-12.1-(-14.3)}{0.222}\approx 9.9\]

\[\begin{aligned}\text{WTP}_{O-A}&=\frac{\delta_O-\delta_A}{\alpha}\\&=\frac{-12.1-(-14.3)}{0.222}\approx 9.9\end{aligned}\]

单位是美元/月，这就是正文“平均消费者每月愿为 OpenAI 比 Anthropic 多付约 10 美元”（本页换算复核）。同理，OpenAI 偏好的标准差 6.00 换成美元，上、下四分位相差 $1.349\times6.00/0.222\approx36.5$（正态分布的上、下四分位相距 1.349 个标准差），对应正文的 37 美元；从 GPT-4 到 GPT-5.5 的能力提升约值每月 25 美元。IV 估计还对应平均自价格弹性 −4.6：涨价 1%，需求约降 4.6%。

注意口径：这些美元数只针对“付费订阅”这一选择。论文提到另一项研究用问卷问“放弃 AI 一个月要补偿多少”，均值约 124.5 美元、中位数约 11.4 美元，量的是包括免费使用在内的全部价值，与本文不可直接比较。

⑨ 福利与加价：AI 的好处给了谁？厂商赚多少？

用“对数和”公式算消费者剩余：付费 AI 带来的剩余从 2024 年初的每人每季度 0.20 美元，涨到 2026Q1 的 1.09 美元，增长五倍以上，其中 74% 归功于 OpenAI，Anthropic 为 0.13 美元。这个平均数很小，是因为绝大多数人根本不付费；除以付费比例后，每位 AI 付费者每季度多得约 35 美元（OpenAI 26 美元、Anthropic 4 美元）。分布极不均匀：OpenAI 偏好最强的 10% 消费者拿走了 97% 以上的剩余。

供给侧，作者假设各家静态 Bertrand 定价，由一阶条件倒推边际成本。静态加价：OpenAI 每月 11.8 美元（勒纳指数 59.0%）、Anthropic 8.62 美元（43.1%）、Google 7.45 美元（37.3%）、xAI 5.77 美元（19.2%）。若加入“用户越多、模型进步越快”的动态激励，加价更低，OpenAI 降到 4.07 美元（20.3%）；动态版本下边际成本约占收入的 70%–80%。

知识点 11

勒纳指数与“谁的弹性”：平均 −4.6，为什么还能加价 59%？

研究生

大白话菜市场里多数路人对价格很敏感，但真正掏钱的熟客不太在乎。商家定价看的是“会买的人”有多敏感，而不是路人。

单产品厂商的一阶条件可写成：勒纳指数等于“按购买概率加权的弹性”的倒数：

\[\frac{p_j-\kappa_j}{p_j}=\frac{1}{\left|\bar\varepsilon_j\right|},\qquad \bar\varepsilon_j=\int\frac{s_{ij}}{s_j}\,\varepsilon_{ij}\,dF\]

\[\begin{aligned}\frac{p_j-\kappa_j}{p_j}&=\frac{1}{\left|\bar\varepsilon_j\right|}\\ \bar\varepsilon_j&=\int\frac{s_{ij}}{s_j}\,\varepsilon_{ij}\,dF\end{aligned}\]

由上面的静态加价，OpenAI 的勒纳指数 59%，倒推 $|\bar\varepsilon|\approx1/0.59\approx1.7$（本页换算），比正文的平均弹性 −4.6 小得多。两者不矛盾：在 Logit 里个人弹性约为 $-\alpha p(1-s_{ij})$，越喜欢 OpenAI 的人 $s_{ij}$ 越大、弹性越小，而加权恰好给他们最大的权重。偏好异质性越强，“平均弹性”与“定价用的弹性”差得越远。论文没有细说 −4.6 的加权口径，这里只作机制说明。

⑩ 反事实：如果不再互相替代？如果 Anthropic 不存在？

有了需求和成本，就能在模型里“改一处设定、让各家重新定价”。论文做了三个 2026Q1 的反事实。

替代性归零（Γ=0）：各家都涨价，Anthropic 从 20 美元涨到 26.2 美元，份额却从 0.503% 升到 0.962%，接近翻倍。原因是 Anthropic 与 OpenAI 的替代性最强（Γ=−6.44），拿掉这层竞争，受益最大的就是它。改为互补（取 |Γ|）：各家每月多收 6–12 美元，OpenAI 份额升 16%，Anthropic 升 364%。偏好互不相关：各家价格上调 2.1%（OpenAI）到 8.7%（xAI），Anthropic 与 xAI 的份额分别升 28.8% 和 29.8%。

论文数字图 4　三个反事实中 OpenAI 与 Anthropic 的价格和份额。份额是付费者占全体消费者的比例。均为模型内计算，不是观测数据。来源：论文表 5。

最有意思的是另一个反事实：把 Anthropic 从市场拿掉，其余三家重新定价。OpenAI 涨价 2.0%、xAI 涨价 1.1%，Google 反而降价 4.4%。OpenAI 的份额竟然下降 0.7%：最接近的对手没了，它顺势涨价，涨价赶走的用户比从 Anthropic 接手的还多。xAI 份额升 17.1%，Google 降 7.0%。每位 AI 用户每季度福利损失 5.05 美元，比不考虑重新定价的“局部均衡”损失大 21%。

论文数字图 5　移除 Anthropic 后其余三家的价格与份额变化（论文图 9）。

知识点 12

反事实模拟：是“模型里的结论”，不是观测

本科

大白话天气预报说“如果明天冷空气提前到，会降温 8 度”，这是根据大气模型算的，不是谁真的看见了。反事实也是：在估好的模型里改一个开关，看各方怎么反应。

它的可信度取决于三件事。①其他参数不变：论文在反事实结果的表注中写明“所有反事实保持其他参数固定”；现实中若 Anthropic 消失，用户偏好、其他厂商的产品策略都可能变。②模型设定：最多订两家、静态 Bertrand 定价、偏好服从正态，任何一条改了，数字都会动。③被估参数的精度：第 ⑧ 节的价格系数靠一次涨价识别，所有美元换算都要除以它，误差会一路传下去。这些反事实都没有给出置信区间，读的时候把它当成“方向与量级”的推断更稳妥。

对投资者而言，这一节的含义很直接：份额小的竞争者也可能有很大的定价约束力。判断一家 AI 公司的定价权，不能只看市场份额，还要看它与对手有多可替代、用户的偏好有多相关。

⑪ 局限与读法

只看见刷卡付费的个人。免费用户、企业账户、可能经其他渠道付费的人都不在数据里。Google 的 AI 订阅常与 Google One 捆绑，识别规则更复杂，其数字的误差可能更大。
专有数据，无法复现。能核对的只有正文与表格；作者中有人与数据提供方存在顾问关系，论文已披露。
价格效应识别薄。只有 xAI 一次涨价提供厂商内部的价格变动，而同期还有新模型发布。
模型的简化。最多订两家、偏好不随时间变；按季度看“是否订过”会把月内的切换抹平。
市场变化极快。样本截至 2026 年 4 月；新模型、新定价档位（如更贵的高级订阅）都会改变替代格局。
工作论文。尚未经同行评审。

这篇论文的统计价值在于展示了一条完整链条：先用描述统计把事实立住（覆盖、优势比、留存、事件回归），再用结构模型把“为什么”和“如果”算出来。读者可以分别检查每一环的假设。

⑫ 思考题

Q1（优势比 · 本科）某月 1,000 人中：都订 4 人，只订 OpenAI 20 人，只订 Anthropic 6 人，都不订 970 人。多归属指数是多少？若两家独立，“都订”大约应有几人？

提示：优势比 $=4\times970/(20\times6)\approx32.3$，对数约 3.5。独立时 $P(\text{都订})\approx p_Op_A=0.024\times0.010$，约 0.24 人。数字为编者虚构，仅供练习。

Q2（覆盖偏差 · 本科）若年轻人更常通过手机应用商店付费（商户名显示为应用商店而非 AI 公司），论文的“年轻人付费率更高”会被高估还是低估？

提示：若年轻人的付费更多被漏记，则年轻人付费率被低估，年龄差距反而被低估。这是思考题假设，论文未讨论此渠道的规模。

Q3（动态选择 · 研究生）人群中 40% 为“铁杆”（月留存 97%）、60% 为“尝鲜”（月留存 50%）。一个月后、一年后的总体留存各是多少？总体月风险率是否随时间下降？

提示：一个月 $0.4\times0.97+0.6\times0.5=68.8\%$；一年 $0.4\times0.97^{12}+0.6\times0.5^{12}\approx27.8\%$。每类的风险率不变，总体风险率却从约 31% 降到接近 3%。可用上面的交互图验证。

Q4（分布滞后 · 本科）切换率回归中，只放“上月发布”哑变量时系数 0.41（不显著），把本月、上月、上上月三个哑变量同时放入时变成 0.63（显著）。请用遗漏变量偏误解释。

提示：若当月与上月的发布哑变量负相关（发布不会连续两个月都有），只放上月时，当月效应被留在误差项里，与上月哑变量负相关，使上月系数被拉低。

Q5（工具变量 · 研究生）为什么 OLS 价格系数（−0.179）的绝对值小于 IV（−0.222）？若 xAI 涨价同期其未观测质量上升，IV 估计会偏向哪边？

提示：未观测质量与价格正相关，使 OLS 偏向 0。若工具与 $\xi$ 正相关，IV 同样会被拉向 0（低估敏感度），真实 $\alpha$ 可能更大。

Q6（支付意愿 · 本科）若价格系数是 −0.179（OLS）而不是 −0.222，OpenAI 相对 Anthropic 的支付意愿会是多少？

提示：$2.2/0.179\approx12.3$ 美元/月。价格系数越小，同样的效用差折算成越多美元，可见所有美元结论对 $\alpha$ 都很敏感。

Q7（研究设计 · 研究生）国内几家大模型应用同时提供免费和会员版。若你拿到某支付平台的会员扣费数据，想复制本文的“多归属指数”和“留存曲线”，需要先处理哪些问题？

提示：会员档位与连续包月识别、免费使用不可见、多账号与家庭共享、试用期首月低价造成的“假留存”、样本覆盖（只看该支付渠道）、以及右删失的处理。

知识点索引

1 抽样框与覆盖偏差（本科） 2 生态谬误与大样本显著性（本科） 3 2×2 表与对数优势比（本科） 4 留存曲线与右删失（本科） 5 异质性与动态筛选（研究生） 6 分布滞后、固定效应与小样本推断（本科） 7 多项 Logit、IIA 与对数和剩余（研究生） 8 相关偏好 vs 互补与模拟极大似然（研究生） 9 价格内生性与工具变量（研究生） 10 支付意愿换算（本科） 11 勒纳指数与加权弹性（研究生） 12 反事实模拟的读法（本科）

本科 7 个，研究生 5 个。

资料来源与核实说明：数字摘自 Egan、Russel、Shi 与 Yao（2026）NBER 工作论文 35953 的摘要、§1–§8、表 1–5、图 4–9 注释与附录 A.1、B.1、C.1。图 1、2、4、5 只画论文数字（图 2 多为正文“约”值）；图 3 的 95% 区间与相对涨幅、知识点 5 的恒定留存推算、知识点 10 的支付意愿复核、知识点 11 的加权弹性倒推，均为编者换算，标本页换算；交互图为两类人群的模拟，标示意。思考题中的虚构数字仅供练习。正文对“偏好互不相关”情形下 OpenAI 涨价幅度写作 2.1%，表 5 价格为 20.0→20.4 美元（约 2.0%），差异来自四舍五入，本页按正文。

与前几期的区别：第 4 期讲预测市场校准，第 5 期讲断点回归，第 6 期讲成本转嫁与双重差分。本期主线是平台竞争的需求估计：从优势比、留存与删失这些描述工具，到离散选择、模拟极大似然、工具变量与反事实，第一次系统讲“结构模型”这条线。